Logaritmo puede ser definido de diversas maneras: como exponente, cuando se conocen la base de una potencia y el valor de esta
Se exige que la base de logaritmos sea un número positivo distinto de 1. Usualmente se ha considerado como base, 10: originando los logaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el número e: generando los logaritmos naturales o neperianos.
Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función exponencial es una función creciente y continua de dominio ℝ y codominio ℝ+, pues tiene función inversa de dominio ℝ+, y codominio ℝ, que también es creciente y continua para base mayor que 1.
Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida,
cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo
de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El
logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1
entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo
negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores
reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica
estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede
demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y;
puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que
logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales
R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será
mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que
pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo
se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos
de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes
una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias
de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3,
4,..., etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2
1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.
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